10921. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отметили точку K
, а на катете AC
— точку L
так, что AK=AC
, BK=LC
. Отрезки BL
и CK
пересекаются в точке M
. Докажите, что треугольник CLM
равнобедренный.
Решение. Поскольку в прямоугольном треугольнике CLB
медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), достаточно доказать, что M
— середина LB
.
Первый способ. Отметим на отрезке AK
точку F
так, что AF=AL
. Тогда FL\parallel KC
и FK=LC=KB
. Значит, KM
— средняя линия треугольника LFB
, и LM=MB
.
Второй способ. Проведём через точку L
прямую, параллельную AB
, до пересечения с CK
в точке G
. Треугольник CAK
равнобедренный, поэтому треугольник CLG
— тоже равнобедренный. Значит, LG=LC=BK
и LGBK
— параллелограмм, а M
— точка пересечения его диагоналей. Следовательно, M
— середина LB
.
Третий способ. Поместим в точки C
, A
и B
массы x=AL
, y=LC
и x+y
соответственно. Тогда L
— центр масс точек A
и C
, а K
— точек A
и B
. Поэтому общий центр масс лежит на пересечении отрезков BL
и CK
, т. е. в точке M
. Группируя точки A
и C
, получим точку L
с массой x+y
. Поскольку у L
и B
равные массы, то M
— середина LB
.