10925. Пусть X
— некоторая фиксированная точка на стороне AC
треугольника ABC
(X
отлична от A
и C
). Произвольная окружность, проходящая через точки X
и B
, пересекает отрезок AC
и описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
, отличных от X
и B
. Докажите, что все возможные прямые PQ
проходят через одну точку.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим вторую точку пересечения PQ
и описанной окружности треугольника ABC
через S
. Пусть M
— точка на продолжении отрезка PQ
за точку Q
. Четырёхугольники ABQS
и BXPQ
вписанные, поэтому
\angle BAS=180^{\circ}-\angle BQS=\angle BQM=180^{\circ}-\angle BQP=
=\angle BXP=\angle BXC=\mbox{const}.
Получили, что угол BAS
, опирающийся на дугу BCS
описанной окружности треугольника ABC
, постоянный, а значит, и длина дуги BS
постоянна. Следовательно, точка S
не зависит от выбора окружности.
Аналогично для для любого другого случая.
Второй способ. Обозначим вторую точку пересечения PQ
и описанной окружности треугольника ABC
через S
. Тогда
\angle(BX,XC)=\angle(BX,XP)=\angle(BQ,QP)=\angle(BQ,QC)=\mbox{const}
(равенство в ориентированных углах, см. задачу 873). Получили, что угол \angle(BQ,QS)
, опирающийся на дугу BS
описанной окружности треугольника ABC
, постоянный, а значит, и длина дуги BS
постоянна. Следовательно, точка S
не зависит от выбора окружности.