10929. На катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ACP
и BCQ
. Найдите отношение длины отрезка BP
к длине отрезка, соединяющего середины AB
и PQ
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Пусть M
и K
— середины AB
и PQ
соответственно. Поскольку PA=PC
и QB=QC
, прямые MP
и MQ
— серединные перпендикуляры к катетам треугольника ABC
. Следовательно,
\angle PMQ=\angle ACB=90^{\circ}.
Тогда MK
— медиана прямоугольного треугольника PMQ
, проведённая к гипотенузе, поэтому MK=\frac{1}{2}PQ
(см. задачу 1109).
Докажем теперь, что PB=PQ
. Действительно,
\angle PCB=\angle PCA+\angle BCA=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ},
\angle PCQ=360^{\circ}-(\angle PCA+\angle BCA+\angle BCQ)=150^{\circ}.
Следовательно, треугольники PCB
и PCQ
равны по двум сторонам и углу между ними, откуда и следует требуемое равенство. Таким образом, MK=\frac{1}{2}PB
.