10930. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC
с описанной вокруг треугольника ABC
окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, касается одной из сторон треугольника ABC
, а один из углов треугольника ABC
равен 45^{\circ}
. Найдите два других угла треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 75^{\circ}
.
Решение. Будем для определённости считать, что точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
лежат на продолжениях высот треугольника ABC
, опущенных из вершин A
, B
, C
соответственно, а вписанная окружность треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
касается стороны AB
.
Пусть P
и Q
— точки касания вписанной в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
окружности со сторонами AB
и A_{1}B_{1}
соответственно, H
— ортоцентр треугольника ABC
. Поскольку AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 34), точка H
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, значит, HP=HQ
, а так как
\angle PBH=\angle ABB_{1}=\angle AA_{1}B_{1}=\angle HA_{1}Q
(вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны), то прямоугольные треугольники PBH
и QA_{1}H
равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, BH=A_{1}H
. Кроме того,
\angle CBA_{1}=\angle CAA_{1}=\angle CBB_{1},
поэтому высота треугольника HBA_{1}
, проведённая из его вершины B
, является его биссектрисой. Следовательно, BH=BA_{1}
, т. е. этот треугольник равносторонний, и
\angle ACB=\angle AA_{1}B=\angle HA_{1}B=60^{\circ}.
Тогда оставшийся искомый угол равен
180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.