10947. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
одинакового радиуса пересекаются в точках X_{1}
и X_{2}
. Окружность \omega
касается окружности \omega_{1}
внешним образом в точке T_{1}
и окружности \omega_{2}
внутренним образом в точке T_{2}
. Докажите, что прямые X_{1}T_{1}
и X_{2}T_{2}
пересекаются на окружности \omega
.
Решение. Из симметрии окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
следует, что касательная t_{1}
к \omega_{1}
, проведённая в точке X_{1}
, и касательная t_{2}
к \omega_{2}
, проведённая в точке X_{2}
, параллельны (эти касательные образуют равные накрест лежащие углы с общей хордой X_{1}X_{2}
).
Пусть прямая X_{1}T_{1}
вторично пересекает окружность \omega
в точке Y
. Касающиеся внешним образом окружности \omega_{1}
и \omega
гомотетичны с центром гомотетии T_{1}
(см. задачу 6401). При этой гомотетии касательная t_{1}
к окружности \omega_{1}
, проведённая в точке X_{1}
, переходит в параллельную ей касательную t
к окружности \omega_{1}
, причём X_{1}
и \omega
располагаются по одну сторону от прямой t
(см. задачу 6402). Тогда X_{2}
и \omega
располагаются по разные стороны относительно прямой t
.
Аналогично, если прямая X_{2}T_{2}
вторично пересекает окружность \omega
в точке Y'
, то касательная t'
к \omega
, проведённая в точке Y'
, параллельна прямой t_{2}
, причём X_{2}
и \omega
располагаются по разные стороны относительно прямой t'
.
Значит, параллельные касательные t
и t'
к окружности \omega
совпадают (поскольку X_{2}
и \omega
располагаются по разные стороны относительно каждой из прямых t
и t'
). Следовательно, точки Y
и Y'
совпадают, откуда вытекает утверждение задачи.
Примечание. Эта задача допускает следующее обобщение. Пусть гомотетия с центром T_{1}
переводит окружность \omega_{1}
в окружность \omega
, а гомотетия с центром T_{2}
переводит окружность \omega
в окружность \omega_{2}
. Пусть композиция этих гомотетий переводит некоторую точку X_{1}
окружности \omega_{1}
в точку X_{2}
окружности \omega_{2}
. Тогда прямые X_{1}T_{1}
и X_{2}T_{2}
пересекаются на окружности \omega
.
Автор: Лейтем Ч. (Люксембург)
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 3, с. 15, М2423
Источник: Задачник «Кванта». — М2423