10951. В равнобедренном треугольнике ABC
со сторонами AB=BC=8
, AC=4
на стороне BC
выбрана такая точка K
, что окружности, вписанные в треугольники ABK
и ACK
, касаются друг друга. Найдите отношение BK:KC
.
Ответ. 3:1
.
Решение. Пусть окружности, вписанные в треугольники ABK
и ACK
, касаются отрезка AK
в точке D
, а отрезка BC
— в точках M
и N
соответственно. Обозначим x=BM
, p_{1}
и p_{2}
— полупериметры треугольников ABK
и ACK
соответственно.
Заметим, что отрезки KM
и KN
равны, так как оба они равны отрезку KD
. Далее находим, что
p_{1}=\frac{x+8+AK}{2},~p_{2}=\frac{8-x+4+AK}{2}=\frac{12-x+AK}{2},
KM=p_{1}-AB=\frac{x+8+AK}{2}-8=\frac{x-8+AK}{2},
KN=p_{2}-AC=\frac{12-x+AK}{2}-4=\frac{4-x+AK}{2}
(см. задачу 219), а так как KM=KN
, то
\frac{x-8+AK}{2}=\frac{4-x+AK}{2}.
Отсюда находим, что BK=x=6
. Тогда KC=8-x=2
. Следовательно, BK:KC=6:2=3:1
.
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 3, с. 57
Источник: Международный математический турнир им. М. В. Ломоносова для учащихся 5—8 классов. — 2015, IV, письменный индивидуальный тур, № 5, 7-8 классы