10953. На основании BC
равнобедренного треугольника ABC
отмечена точка X
, а на сторонах AB
и AC
— соответственно точки P
и Q
таким образом, что APXQ
— параллелограмм. Докажите, что точка Y
, симметричная точке X
относительно прямой PQ
, попадает на описанную окружность треугольника ABC
.
Решение. Треугольник BPX
тоже равнобедренный, так как PX
и AC
параллельны. Значит, точки B
, X
и Y
равноудалены от точки P
, т. е. P
— центр описанной окружности треугольника BXY
. Тогда
\angle BYX=\frac{1}{2}\angle BPX=\frac{1}{2}\angle BAC.
Аналогично, \angle CYX=\frac{1}{2}\angle BAC
, поэтому
\angle BYC=\angle BYX+\angle CYX=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle BAC=\angle BAC.
Следовательно, точки B
, Y
, A
, C
лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. точка Y
, симметричная точке X
относительно прямой PQ
, лежит на описанной окружности треугольника ABC
.