10957. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна h
. Каково наименьшее возможное значение длины средней линии такой трапеции?
Ответ. h
.
Решение. Пусть AD
и BC
— основания трапеции, K
, L
, M
, N
— середины сторон AB
, BC
, CD
, DA
соответственно. Тогда KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204) с прямым углом, т. е. прямоугольник. Значит, KM=LN\geqslant h
. Равенство KM=h
достигается для любой равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями.
Автор: Дворянинов С. В.
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 24