10960. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников ABC
и ACD
, касаются друг друга тогда и только тогда, когда угол DAB
прямой.
Решение. Пусть O
и R
— центр и радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, M
— середина AC
, M_{1}
и M_{2}
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и ACD
соответственно, O_{1}
и O_{2}
— центры упомянутых в условии окружностей, т. е. окружностей девяти точек треугольников ABC
и ACD
.
Окружность с центром O
описана около треугольников ABC
и ACD
, поэтому окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
— её образы при гомотетиях с центрами M_{1}
и M_{2}
соответственно и коэффициентами k=-\frac{1}{2}
(см. задачу 1207). Следовательно, OM_{1}=2O_{1}M_{1}
и OM_{2}=2O_{2}M_{2}
. Тогда из подобия треугольников O_{1}OO_{2}
и M_{1}OM_{2}
получим, что O_{1}O_{2}=\frac{3}{2}M_{1}M_{2}
. Кроме того, из свойства точки пересечения медиан треугольника следует, что M_{1}M_{2}=\frac{1}{3}BD
. Таким образом, O_{1}O_{2}=\frac{1}{2}BD
.
Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются тогда и только тогда, когда отрезок O_{1}O_{2}
равен сумме их радиусов. Каждый из этих радиусов равен \frac{1}{2}R
, поэтому это условие, в свою очередь, равносильно тому, что O_{1}O_{2}=R
, или BD=2R
. Поскольку диаметр окружности равен 2R
, это равносильно тому, BD
— диаметр, т. е. что угол DAB
прямой.