10966. Точки K
и L
на стороне AB
треугольника ABC
таковы, что \angle ACK=\angle KCL=\angle LCB
. Точка M
на BC
такова, что \angle MKC=\angle BKM
, ML
— биссектриса угла KMB
. Найдите угол MLC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Точка L
— центр вневписанной окружности треугольника KCM
, значит, KB
— биссектриса внешнего угла при вершине K
этого треугольника (см. задачу 1192). Следовательно, прямые KM
и KB
делят развёрнутый угол с вершиной K
на три равные части, т. е.
\angle CKM=\angle MKB=60^{\circ}.
Угол KMB
— внешний для треугольника KCM
, а угол LMB
— внешний для треугольника LCM
, следовательно,
\angle MLC=\angle LMB-\angle LCM=\frac{1}{2}(\angle KMB-\angle KCM)=\frac{1}{2}\angle KCM=30^{\circ}.