10978. Хорды AC
и BD
окружности с центром O
пересекаются в точке K
(см. рис.). Точки M
и N
— центры окружностей, описанных около треугольников AKB
и CKD
. Докажите, что если точки O
, K
, M
, N
не лежат на одной прямой, то OMKN
— параллелограмм.
Решение. Пусть X
— середина KB
, а P
— точка пересечения прямых MK
и CD
. Тогда
\angle KMX=\frac{1}{2}\angle KMB=\angle KAB=\angle KDC=\angle KDP.
Углы KMX
и MKX
прямоугольного треугольника MXK
соответственно равны углам KDP
и DKP
треугольника DKP
, поэтому \angle DPK=\angle MXK=90^{\circ}
, т. е. MK\perp CD
. При этом ON\perp CD
, так как линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130). Следовательно, MK\parallel ON
. Аналогично, KN\parallel OM
, а так как точки O
, K
, M
, N
не лежат на одной прямой, то OMKN
— параллелограмм.
Примечание. Если точки O
, K
, M
, N
лежат на одной прямой, то рассмотрим ортогональные проекции отрезков OM
и KN
на прямую AC
. Точки O
, M
и N
проектируются, в середины отрезков AC
, AK
, KC
соответственно, поэтому проекции обоих параллельных отрезков равны \frac{1}{2}KC
. Следовательно, равны и длины самих отрезков.