10992. Даны треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
. Точки A
, B
и C
делят отрезки A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
в одном и том же отношении: A_{1}A:AA_{2}=B_{1}B:BB_{2}=C_{1}C:CC_{2}
. Докажите, что если эти точки не лежат на одной прямой, то точки пересечения медиан треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
, A_{2}B_{2}C_{2}
и ABC
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим A_{1}A:AA_{2}=B_{1}B:BB_{2}=C_{1}C:CC_{2}
. Тогда
\overrightarrow{A_{1}A}=k\overrightarrow{AA_{2}},~\overrightarrow{B_{1}B}=k\overrightarrow{BB_{2}},~\overrightarrow{C_{1}C}=k\overrightarrow{CC_{2}}.
Значит, если M_{1}
, M_{2}
и M
— точки пересечения медиан треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
, A_{2}B_{2}C_{2}
и ABC
соответственно, то (см. задачу 4507)
\overrightarrow{M_{1}M}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{C_{1}C})=\frac{1}{3}(k\overrightarrow{AA_{2}}+k\overrightarrow{BB_{2}}+k\overrightarrow{CC_{2}})=
=\frac{1}{3}k(\overrightarrow{AA_{2}}+\overrightarrow{BB_{2}}+\overrightarrow{CC_{2}})=k\overrightarrow{MM_{2}}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. См. статью Ю.Ионина и В.Некрасова «Векторы в геометрических задачах», Квант, 1985, N10, с.21-24.