4507. Пусть M
и N
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и PQR
соответственно. Докажите, что \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR})
.
Указание. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— медианы треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
; P_{1}
, Q_{1}
, R_{1}
— середины сторон соответственно QP
, PR
и RQ
треугольника PQR
. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN},~\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{QN},~\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CR}+\overrightarrow{RN},
получим, что
3\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR})+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{RN})=
=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR}-\frac{2}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})+\frac{2}{3}(\overrightarrow{PP_{1}}+\overrightarrow{QQ_{1}}+\overrightarrow{RR_{1}})=
=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR}-\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR}
(см. задачу 4501). Следовательно,
\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR}).
Примечание. Утверждение верно для любых двух треугольников в пространстве.