10997. В треугольнике ANC
со сторонами AB=4
, BC=5
и AC=6
проведены высоты AH_{1}
, BH_{2}
и CH_{3}
Найдите отношение H_{1}H_{3}:H_{2}H_{3}
.
Ответ. 4:15
.
Решение. По теореме косинусов находим, что
\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{16+36-25}{2\cdot4\cdot6}=\frac{9}{16},
\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{16+25-36}{2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{8}.
Треугольник AH_{2}H_{3}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle A=\frac{9}{16}
(см. задачу 19), значит,
H_{2}H_{3}=BC\cos\angle A=5\cdot\frac{9}{16}.
Аналогично,
H_{1}H_{3}=AC\cos\angle B=6\cdot\frac{1}{8}.
Следовательно,
\frac{H_{1}H_{3}}{H_{2}H_{3}}=\frac{6\cdot\frac{1}{8}}{5\cdot\frac{9}{16}}=\frac{4}{15}.