11002. В равнобедренный треугольник ABC
вписана полуокружность. Её центр O
— середина основания AC
треугольника ABC
. Касательная к полуокружности пересекает боковые стороны AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Найдите площадь треугольника AMO
, если NO=6
, CO=5
, CN=7
.
Ответ. \frac{150\sqrt{6}}{49}
.
Решение. Полупериметр треугольника CNO
равен \frac{5+6+7}{2}=9
, поэтому по формуле Герона
S_{\triangle CON}=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt{6}.
Обозначим \angle BAC=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle MBN=\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha,
а так как NO
и MO
— биссектрисы внешних углов треугольника MBN
(см. задачи 1724 и 4770), то
\angle MON=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MBN=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha.
При этом, \angle ONM=\angle ONC
и \angle OMN=\angle OMA
, значит, треугольник AMO
подобен треугольнику CON
по двум углам, а коэффициент подобия k
равен отношению соответствующих сторон, т. е. \frac{AO}{CN}=\frac{5}{7}
. Следовательно,
S_{\triangle AMO}=k^{2}S_{\triangle CON}=\frac{25}{49}\cdot6\sqrt{6}=\frac{150\sqrt{6}}{49}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, филиал, вариант Ф91, задача 6