11006. Окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом в точке T
. Окружность \Omega_{3}
с центром O_{3}
касается внешним образом окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
, а также касается общей касательной AB
, проведённой к \Omega_{1}
и \Omega_{2}
, в точке D
. Прямая TD
вторично пересекает окружность \Omega_{1}
в точке C
. Докажите, что O_{1}C\parallel AB
.
Решение. Если радиусы окружностей равны, то в силу симметрии прямая TD
будет являться общей касательной к окружностям. В этом случае доказывать нечего.
Далее предполагаем, что r_{1}\lt r_{2}
(случай r_{2}\gt r_{1}
аналогичен). Пусть X
— точка пересечения прямых O_{1}O_{2}
и AB
(рис. 1). Достаточно доказать, что XT=XD
. Действительно, поскольку O_{1}T=O_{1}C=r_{1}
, то XTD
и O_{1}TC
— подобные равнобедренные треугольники, откуда получаем нужную параллельность.
Показать, что XT=XD
, можно разными способами (используя теорему о трёх гомотетиях, инверсию с центром в X
и т. д.). Здесь мы приведём два способа решения, в которых потребуется гомотетия и немного вычислений.
Первый способ. Положим XA=t
, а отношение радиусов \frac{r_{2}}{r_{1}}
окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
обозначим через k
. Пусть Z
— вторая точка пересечения прямой XT
с окружностью \Omega_{1}
. Тогда по теореме о касательной и секущей XT\cdot XZ=t^{2}
. С другой стороны, из гомотетии с центром X
, переводящей окружность \Omega_{1}
в окружность \Omega_{2}
, следует, что \frac{XZ}{XT}=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{1}{k}
. Отсюда \frac{XT^{2}}{k}=t^{2}
, значит, XT=t\sqrt{k}
. Из этой же гомотетии получаем, что XB=kXA=kt
, откуда
AB=XB-XA=kt-t=(k-1)t.
По формуле для отрезка общей касательной касающихся окружностей (см. задачу 365)
AD=2\sqrt{r_{1}r_{3}},~BD=2\sqrt{r_{2}r_{3}},
(где r_{3}
— радиус окружности \Omega_{1}
. Таким образом,
\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{r_{2}}}{\sqrt{r_{1}}}=\sqrt{k}~\Leftrightarrow~BD=AD\sqrt{k}.
Значит,
XD=XA+AD=t+AB\cdot\frac{AD}{AD+BD}=
=t+(k-1)t\cdot\frac{1}{1+\sqrt{k}}=t+t(\sqrt{k}-1)=t\sqrt{k}=XT.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M
и N
точки касания окружности \Omega_{3}
с окружностями \Omega_{1}
и \Omega_{2}
соответственно (рис. 2). Тогда прямая MN
проходит через точку X
(в более общем случае доказано в решении задачи 106). Поскольку
O_{1}T=O_{1}M,~O_{2}T=O_{2}N,~O_{3}N=O_{3}M,
вписанная окружность треугольника O_{1}O_{2}O_{2}
касается его сторон в точках T
, N
и M
(см. задачу 4728), а так как XMN
— общая секущая этой окружности и окружности \Omega_{3}
, то по теореме о касательной и секущей
XD=\sqrt{XM\cdot XN}=XT.
Что и требовалось доказать.