11022. В четырёхугольник ABCD
можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагональ AC
делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите длину диагонали BD
, если радиус вписанной окружности равен r
, а периметр четырёхугольника равен p
.
Ответ. \frac{2pr}{\sqrt{p^{2}-4pr}}=2r\sqrt{\frac{p}{p-4r}}
.
Решение. По свойству описанного четырёхугольника AB+CD=AD+BC=\frac{1}{2}p
(см. задачу 310). Треугольники ABC
и ADC
равновелики, поэтому, если O
— центр вписанной окружности данного четырёхугольника, то
S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=S_{\triangle COD}+S_{\triangle AOD},~\mbox{или}
\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r=\frac{1}{2}AD\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r,
откуда AB+BC=AD+CD
. Из системы
\syst{AB+CD=BC+AD\\AB+BC=AD+CD\\}
получаем, что BC=CD
и AB=AD
.
Точки A
и C
равноудалены от концов отрезка BD
, значит, AC
— серединный перпендикуляр к хорде BD
окружности, описанной около данного четырёхугольника, т. е. BD
— диаметр этой окружности, а ABC
и ADC
— равные прямоугольные треугольники.
Обозначим AB=x
, BC=y
. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Тогда M
— середина диагонали BD
, а BM
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
x+y=\frac{1}{2}p,~xy=2S_{\triangle ABC}=(AB\cdot r+BC\cdot r)=\frac{1}{2}pr,
AC^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=\frac{1}{4}p^{2}-pr=\frac{1}{4}(p^{2}-4pr)
\frac{1}{2}BD=BM=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\frac{1}{2}pr}{\sqrt{\frac{1}{4}(p^{2}-4pr)}}=\frac{pr}{\sqrt{p^{2}-4pr}}.
Следовательно,
BD=2BM=\frac{2pr}{\sqrt{p^{2}-4pr}}=2r\sqrt{\frac{p}{p-4r}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1971, № 5, вариант 3
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 4, с. 48, упражнение 3