11023. Четырёхугольник KLMN
вписан в окружность. Через его вершины проведены касательные к этой окружности, образующие четырёхугольник, который также можно вписать в окружность. Найдите площадь четырёхугольника KLMN
, если его периметр равен P
и NM=2ML=8LK
.
Ответ. \frac{9P^{2}}{200}
.
Решение. Положим KL=a
, LM=4a
, MN=8a
. Пусть касательные к описанной окружности четырёхугольника KLMN
в точках L
и M
пересекаются в точке A
, касательные в точках M
и N
— в точке B
, касательные в точках N
и K
— в точке C
, касательные в точках K
и L
— в точке D
. Обозначим \angle BAD=\varphi
. По условию задачи четырёхугольник ABCD
вписанный.
Применив теорему об угле между касательной и хордой, можно легко доказать, что \angle MNL=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}
, а так как \angle BCD=180^{\circ}-\varphi
, то аналогично,
\angle NMK=90^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\varphi}{2}=\frac{\varphi}{2}.
Пусть диагонали четырёхугольника KLMN
пересекаются в точке E
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle LEM=\angle MNL+\angle NMK=\left(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)+\frac{\varphi}{2}=90^{\circ},
т. е. диагонали четырёхугольника KLMN
перпендикулярны. Значит (см. задачу 1344), суммы квадратов противоположных сторон этого четырёхугольника равны, т. е.
KN^{2}+LM^{2}=KL^{2}+MN^{2},
откуда
KN^{2}=KL^{2}+MN^{2}-LM^{2}=a^{2}+64a^{2}-16a^{2}=49a^{2}.
Следовательно, KN=7a
.
Пусть p
— полупериметр вписанного четырёхугольника KLMN
. Тогда
p=\frac{KL+LM+MN+KN}{2}=\frac{a+4a+8a+7a}{2}=10a.
По формуле Брахмагупты (см. задачу 730)
S_{KLMN}=\sqrt{(10a-a)(10a-4a)(10a-8a)(10a-7a)}=\sqrt{9\cdot6\cdot2\cdot3a^{4}}=18a^{2},
а так как 10a=p=\frac{P}{2}
, то a=\frac{P}{20}
. Следовательно,
S_{KLMN}=18\cdot\frac{P^{2}}{400}=\frac{9P^{2}}{200}.
Примечание. Можно и так. Обозначим \angle LMN=\alpha
. Применив теорему косинусов к треугольникам LMN
и LKN
получим уравнение
16a^{2}+64a^{2}-64a^{2}\cos\alpha=a^{2}+49a^{2}+14a^{2}\cos\alpha,
откуда находим, что \cos\alpha=\frac{5}{13}
. Тогда \sin\alpha=\frac{12}{13}
. Следовательно,
S_{KLMN}=S_{\triangle LMN}+S_{\triangle LKN}=\frac{1}{2}\cdot4a\cdot8a\cdot\frac{12}{13}+\frac{1}{2}\cdot a\cdot7a\cdot\frac{12}{13}=18a^{2}=\frac{9P^{2}}{200}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1971, № 5, вариант 4
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 4, с. 48, упражнение 5