11025. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
диагонали пересекаются в точке E
, причём \frac{AC}{AE}=10
, \frac{BD}{BE}=\frac{13}{4}
. Радиус окружности R=10
. Одна из диагоналей четырёхугольника является диаметром. Найдите длину BC
.
Ответ. 9\sqrt{5}
.
Решение. Пусть AE=m
, EC=9m
, BE=4k
, ED=9k
, m\gt0
, k\gt0
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) AE\cdot EC=BE\cdot ED
, или 9m\cdot m=4k\cdot9k
. Отсюда
m=2k,~AC=10m=20k\gt13k=BD,
а так как AC\gt BD
, то AC
— диаметр, и \angle ABC=90^{\circ}
. Тогда AC=2R
, или 10m=2\cdot10
, значит,
m=2,~k=1,~BE=4k=4,~ED=9k=9,~AE=m=2,~EC=9m=18.
Пусть BC=x
, AB=y
, \angle CAB=\alpha
. Из треугольников ABC
и ABE
получим систему
\syst{x^{2}+y^{2}=20^{2}\\y^{2}+2^{2}-2\cdot2y\cos\alpha=4^{2}\\y^{2}+20^{2}-2\cdot20y\cos\alpha=x^{2},\\}
из которой следует, что x^{2}=405
и x=9\sqrt{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1998 (тестирование), вариант 1, № 8
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 4, с. 50, задача 14