11031. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=50^{\circ}
, \angle B=60^{\circ}
. Точки D
и E
выбраны на сторонах соответственно AB
и BC
так, что \angle DCA=\angle EAC=30^{\circ}
. Найдите угол CDE
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Указание. См. задачу 2900.
Решение. По теореме о сумме углов треугольника
\angle ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}.
Пусть отрезки AE
и CD
пересекаются в точке K
. Треугольник AKC
равнобедренный, поэтому
\angle AKC=180^{\circ}-2\cdot30^{\circ}=120^{\circ}=2\angle ABC.
Точки B
и K
лежат по одну сторону от прямой AC
, при этом KA=KC
и \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AKC
, значит, точки A
, B
и C
лежат на окружности с центром K
и радиусом KB=KC=KA
(см. задачу 2900), т. е. на описанной окружности треугольника ABC
. Треугольник BKC
равнобедренный, поэтому
\angle KBC=\angle KCB=\angle ABC-\angle ACB-\angle DCA=70^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}.
Поскольку
\angle DBE+\angle DKE=\angle DBE+\angle AKC=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник BDKE
вписан в окружность. Вписанные в эту окружность углы KDE
и KBE
опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Следовательно,
\angle CDE=\angle KDE=\angle KBE=\angle KBC=40^{\circ}.
Примечание. См. также статью Д.Изаака «Выручает описанная окружность», Квант, 1987, N2, с.41-42.