11034. В треугольнике ABC
известно, что AB=BC
, \angle C=40^{\circ}
. Вне треугольника ABC
, но внутри угла BAC
взята такая точка M
, что \angle AMC=50^{\circ}
и \angle ABM=\angle ACM
. Найдите угол BCM
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Указание. Точка B
— центр окружности, описанной около треугольника ACM
(см. задачу 2900).
Решение. Точки B
и M
лежат по одну сторону от прямой AC
, причём BA=BC
и \angle AMC=\frac{1}{2}\angle ABC
, значит, точка B
— центр окружности, описанной около треугольника ACM
(см. задачу 2900).
Обозначим \angle BCM=\angle BMC=\alpha
. Тогда
\angle CBM=180^{\circ}-2\alpha.
Тогда
\angle AKC=180^{\circ}-2\cdot\angle KAC=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ},
\angle ABM=\angle ABC+\angle CBM=100^{\circ}+(180^{\circ}-2\alpha)=280^{\circ}-2\alpha,
\angle ACM=\angle ACB+\angle BCM=40^{\circ}+\alpha.
По условию задачи \angle ABM=\angle ACM
, или 280^{\circ}-2\alpha=40^{\circ}+\alpha
, откуда находим, что \alpha=80^{\circ}
.
Примечание. См. также статью Д.Изаака «Выручает описанная окружность», Квант, 1987, N2, с.41-42.