11037. Биссектриса угла B
треугольника ABC
пересекает описанную окружность в точке W
. Точка I_{b}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC
, точка I
— центр вписанной окружности. Докажите,что BW=\frac{BI+BI_{b}}{2}
.
Решение. Точки B
, I
, W
и I_{b}
лежат на одной прямой — прямой, содержащей биссектрису угла B
. По теореме Мансиона (см. задачу 57) точка W
— середина отрезка II_{b}
. Сложив равенства
BW=BI+\frac{1}{2}II_{b}~\mbox{и}~BW=BI_{b}-\frac{1}{2}II_{b},
получим, что 2BW=BI+BI_{b}
. Следовательно, BW=\frac{BI+BI_{b}}{2}
.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.