11043. Из точки K
внутри треугольника ABC
опущены перпендикуляры KA_{1}
, KB_{1}
и KC_{1}
на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Через точку A_{1}
проведена прямая l_{1}
, параллельная прямой, симметричной прямой AK
относительно биссектрисы угла A
. Прямые l_{2}
и l_{3}
определяются аналогично. Докажите, что прямые l_{1}
, l_{2}
, l_{3}
пересекаются в одной точке.
Указание. См. задачи 10618 и 1256.
Решение. Пусть l_{A}
и AK
— изогонали угла BAC
. Тогда по условию l_{1}\parallel l_{A}
, а так как l_{A}\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 10618), то l_{1}\perp B_{1}C_{1}
. Значит, на прямой l_{1}
лежит высота треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Аналогично для прямых l_{2}
и L_{3}
. Следовательно, эти три прямые пересекаются в ортоцентре треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Примечание. См. статью Д.Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники», Квант, 2017, N9, с.38-44.