11048. Точка S
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Докажите, что AS
— симедиана треугольника ABC
тогда и только тогда, когда \frac{BS}{CS}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
.
Указание. Примените теорему Штейнера (см. задачу 4121).
Решение. Пусть AS
— симедиана треугольника ABC
, а AM
— его медиана. Тогда по теореме Штейнера (см. задачу 4121) \frac{BM\cdot BS}{CM\cdot CS}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
, а так как BM=CM
, то \frac{BS}{CS}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
.
Обратно, пусть для точки S
на стороне BC
верно равенство \frac{BS}{CS}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
, а AS'
— симедиана треугольника ABC
. Тогда
\frac{BS'}{CS'}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{BS}{CS},
т. е. точки S
и S'
делят сторону BC
в одном и том же отношении. Значит, эти точки совпадают. Следовательно, AS
— симедиана треугольника ABC
.
Примечание. См. также статью В.Журавлёва, П.Самовола «Этюд о симедианах», Квант, 2013, N5-6, с.33-40.