11050. Докажите, что точка Лемуана прямоугольного треугольника совпадает с серединой его высоты, проведённой из вершины прямого угла.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины C
прямого угла, M
— середина гипотенузы AB
. Тогда CH
— симедиана треугольника ABC
, так как \angle BCM=\angle ACH
. Значит, точка Лемуана лежит на CH
.
В то же время, \angle BCH=\angle BAC
, поэтому отрезки CH
и AC
антипараллельны. Значит, симедиана BP
треугольника ABC
делит пополам отрезок CH
(см. задачу 10341). Отсюда следует доказываемое утверждение.