11052. Антипараллельные отрезки, проведённые через основание симедианы, равны, т. е., если AS
— симедиана треугольника ABC
, а точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём отрезки SM
и SN
антипараллельны сторонам AC
и AB
соответственно, то SM=SN
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Тогда по следствию из теоремы Штейнера (см. задачу 4121) \frac{SB}{SC}=\frac{c^{2}}{b^{2}}
. Значит,
\frac{a}{SB}=\frac{BC}{SB}=\frac{SB+SC}{SB}=\frac{b^{2}+c^{2}}{c^{2}},
откуда SB=\frac{ac^{2}}{b^{2}+c^{2}}
.
Треугольники BMS
и BCA
подобны по двум углам, так как отрезки SM
и AC
антипараллельны, поэтому \frac{SM}{AC}=\frac{SB}{AB}
. Следовательно,
SM=AC\cdot\frac{SB}{AB}=\frac{b\cdot\frac{ac^{2}}{b^{2}+c^{2}}}{c}=\frac{abc}{b^{2}+c^{2}}.
Аналогично получим, что SN=\frac{abc}{b^{2}+c^{2}}
. Следовательно, SM=SN