11063. Проведите через данную точку P
, лежащую внутри угла AOB
, прямую так, чтобы величина OM+ON
была минимальной (точки M
и N
лежат на сторонах OA
и OB
).
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах OA
и OB
соответственно. Через точку P
проведём прямые, параллельные OA
и OB
, пересекающие эти лучи в точках K
и L
соответственно. Тогда величина OK+OL
зависит только от положения точки P
внутри угла. Значит, нужно построить такие точки M
и N
на сторонах угла, для которых минимальна величина KM+LN
.
Из подобия треугольников KMP
и LPN
получаем, что \frac{KM}{KP}=\frac{LP}{LN}
, или KM\cdot LN=KP\cdot LP
. Значит,
KM+LN\geqslant2\sqrt{KM\cdot LN}=2\sqrt{KP\cdot LP}=2\sqrt{OL\cdot OK},
причём равенство достигается, если
KM=LN=\sqrt{OL\cdot OK}=\sqrt{KP\cdot LP}.
Отсюда вытекает следующее построение. Через данную точку P
проводим прямые, параллельные сторонам угла, и получаем точки K
и L
. Затем строим среднее геометрическое \sqrt{OL\cdot OK}
отрезков OL
и OK
(см. задачу 1986) и откладываем его на продолжениях отрезков OK
и OL
соответственно. Получаем точки M
и N
.
Поскольку KM\cdot LN=KP\cdot LP
, треугольники KMP
и LPN
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, значит, \angle KPM=\angle LNP
, т. е. точка P
лежит на отрезке MN
.
Задача имеет единственное решение.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 11.25, с. 275