11065. Докажите, что в гармоническом четырёхугольнике расстояния от точки пересечения диагоналей до сторон пропорциональны этим сторонам.
Решение. Пусть AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
— стороны гармонического четырёхугольника ABCD
, т. е. вписанного четырёхугольника, произведения противоположных сторон которого равны, M
— точка пересечения диагоналей, а h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
, h_{d}
— высоты треугольников соответственно AMB
, BMC
, CMD
, AMB
, проведённые из общей вершины M
. Тогда
\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle BMC}}=\frac{AM}{MB}=\frac{a^{2}}{b^{2}}
(см. задачи 3000 и 11054). С другой стороны,
\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle BMC}}=\frac{\frac{1}{2}ah_{a}}{\frac{1}{2}bh_{b}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{h_{a}}{h_{b}},
поэтому
\frac{a}{b}\cdot\frac{h_{a}}{h_{b}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
Следовательно, \frac{h_{a}}{h_{b}}=\frac{a}{b}
.
Аналогично \frac{h_{b}}{h_{c}}=\frac{b}{c}
и \frac{h_{c}}{h_{d}}=\frac{c}{d}
.
Примечание. См. статью Я.П.Понарина «Гармонический четырёхугольник», Квант, 1991, N10, с.48-52.