11066. Через точку X
, лежащую внутри треугольника ABC
, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X
— точка Лемуана.
Решение. Пусть отрезки B_{1}C_{1}
, A_{2}C_{2}
и A_{3}B_{3}
антипараллельны сторонам BC
, AC
и AB
соответственно (точки A_{2}
и A_{3}
лежат на стороне BC
, точки B_{1}
и B_{3}
— на AC
, точки C_{1}
и C_{2}
— на AB
).
Из антипараллельности следует, что
\angle XA_{2}A_{3}=\angle C_{2}A_{2}B=\angle CAB=\angle XA_{3}A_{2},
значит, треугольник XA_{2}A_{3}
равнобедренный, XA_{2}=XA_{3}
. Аналогично, XB_{1}=XB_{3}
и XC_{1}=XC_{2}
. Обозначим
XA_{2}=XA_{3}=a,~XB_{1}=XB_{3}=b,~XC_{1}=XC_{2}=c.
Необходимость. Пусть B_{1}C_{1}=A_{2}C_{2}=A_{3}B_{3}
, т. е. b+c=a+c=a+b
. Тогда a=b=c
. Значит, луч AX
делит пополам отрезок, антипараллельный стороне BC
. Следовательно, этот луч содержит симедиану AS
(см. примечание к задаче 10341). Аналогично, лучи BX
и CX
содержат две другие симедианы треугольника. Таким образом X
— точка пересечения симедиан, т. е. точка Лемуана.
Достаточность. Пусть X
— точка Лемуана треугольника ABC
. Тогда X
лежит на каждой симедиане, а значит, делит пополам любой отрезок, антипараллельный стороне треугольника (см. задачу 10341). Тогда a=b=c
. Следовательно, a+b=a+c=b+c
, т. е. B_{1}C_{1}=A_{2}C_{2}=A_{3}B_{3}
. Что и требовалось доказать.