11068. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки X
, лежащей внутри треугольника, до его сторон минимальна, если X
совпадает с точкой Лемуана.
Решение. Пусть расстояния от точки P
, лежащей внутри треугольника ABC
, до его сторон AB=c
, AC=b
и BC=a
равны x
, y
и z
соответственно, а площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда
ax+by+cz=2(S_{\triangle BPC}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle APB})=2S.
Кроме того
x:y:z=\frac{S_{\triangle BPC}}{a}:\frac{S_{\triangle APC}}{b}:\frac{S_{\triangle APB}}{c}.
Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz
. Уравнение ax+by+cz=2S
задаёт плоскость, перпендикулярную вектору с координатами (a;b;c)
. В этой плоскости нужно найти точку P_{0}
, для которой выражение x^{2}+y^{2}+z^{2}
минимально, т. е. точку, наименее удалённую от начала координат O
. Ясно, что тогда OP_{0}
— перпендикуляр к этой плоскости. Вектор \overrightarrow{OP_{0}}=(x;y;z)
коллинеарен вектору (a;b;c)
, поэтому его координаты соответственно пропорциональны числам a
, b
и c
, или числам \frac{S_{\triangle BPC}}{a}
, \frac{S_{\triangle APC}}{b}
и \frac{S_{\triangle APB}}{c}
. Значит,
\frac{S_{\triangle BPC}}{a}:\frac{S_{\triangle APC}}{b}:\frac{S_{\triangle APB}}{c}=x:y:z=a:b:c,
откуда получаем, что
S_{\triangle BPC}:S_{\triangle APC}:S_{\triangle APB}=a^{2}:b^{2}:c^{2},
Пусть луч AP
пересекает сторону BC
в точке A_{1}
. Из равенства
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{S_{\triangle BAA_{1}}}{S_{\triangle CAA_{1}}}=\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle APC}}=\frac{c^{2}}{b^{2}}
следует, что AA_{1}
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 11048), т. е. точка P
лежит на симедиане AA_{1}
. Аналогично, точка P
лежит на симедианах BB_{1}
и CC_{1}
. Значит, P
— точка Лемуана треугольника ABC
.