11080. Окружность S
касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
в точках C_{1}
и B_{1}
, а также касается внутренним образом описанной окружности этого треугольника (полувписанная окружность). Касательные BM
и CN
к окружности S
(M
и N
— точки касания, отличные от C_{1}
и B_{1}
) пересекаются в точке K
. Докажите, что точка пересечения прямых B_{1}C_{1}
и MN
лежит на прямой BC
.
Решение. Окружность S
вписана в четырёхугольник ABCK
и касается его сторон AB
, BK
, KC
и CA
в точках C_{1}
, M
, N
и B_{1}
соответственно. Следовательно (см. задачу 4442), прямые B_{1}C_{1}
MN
пересекаются на прямой BC
.
Примечание. См. статью А.Гирича «Несколько задач о треугольниках и окружностях», Квант, 1990, N11, с.46-48.