11083. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки, лежащей на одной из двух концентрических окружностей, до концов диаметра второй, не зависит ни от выбранной точки, ни от выбора диаметра.
Решение. Пусть радиусы окружностей равны r
и R
(R\gt r
), AB
— диаметр меньшей окружности, C
— произвольная точка на большей окружности, O
— общий центр окружностей. Тогда CO
— медиана треугольника ABC
. По формуле для медианы (см. задачу 4014)
R^{2}=CO^{2}=\frac{1}{4}(2CA^{2}+2CB^{2}-AB^{2})=
=\frac{1}{4}(2CA^{2}+2CB^{2}-4r^{2})=\frac{CA^{2}+CB^{2}}{2}-r^{2}.
Отсюда находим, что AC^{2}+CB^{2}=2(R^{2}+r^{2})
, т. е. сумма квадратов указанных расстояний зависит только от радиусов окружностей.
Тот же результат для случая, когда точка C
лежит на меньшей окружности, а AB
— диаметр большей.