11086. На диаметре окружности радиуса R
с центром O
отметили точку M
. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки M
до концов хорды, параллельной этому диаметру, не зависит от выбора хорды.
Решение. Пусть P
— середина произвольной хорды AB
, параллельной данному диаметру, OM=a
, AB=2b
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
MP^{2}=\frac{1}{4}(2MA^{2}+2MB^{2}-AB^{2})=\frac{1}{2}(MA^{2}+MB^{2}-2b^{2}).
С другой стороны, из прямоугольных треугольников MOP
и AOP
получаем, что
MP^{2}=OM^{2}+OP^{2}=OM^{2}+OA^{2}-AP^{2}=a^{2}+R^{2}-b^{2}.
Значит,
\frac{1}{2}(MA^{2}+MB^{2}-2b^{2})=a^{2}+R^{2}-b^{2},
откуда
MA^{2}+MB^{2}=2(a^{2}+R^{2}-b^{2})+2b^{2}=2(a^{2}+R^{2}),
т. е. сумма MA^{2}+MB^{2}
зависит только от радиуса окружности и расстояния точки M
до центра окружности.