11092. С помощью одного циркуля постройте образ точки A
при инверсии относительно данной окружности S
с данным центром O
.
Решение. Предположим сначала, что точка A
лежит вне окружности S
. Пусть B
и C
— точки пересечения окружности S
и окружности радиуса AO
с центром A
, а A'
— отличная от O
точка пересечения окружностей с центрами B
и C
и радиусами, равными радиусу R
окружности S
.
Точки O
, A
и A'
равноудалены от концов отрезка BC
, значит, они лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку BC
. Кроме того, из подобия равнобедренных треугольников OBA'
и BAO
получаем, что \frac{OA'}{OB}=\frac{OB}{OA}
, или OA'\cdot OA=OB^{2}=R^{2}
. Следовательно, A'
— образ точки A
при рассматриваемой инверсии.
Пусть теперь точка A
лежит внутри окружности. Тогда при некотором натуральном n
отрезок OA_{n}=n\cdot OA
больше радиуса окружности S
, т. е. точка A_{n}
лежит вне окружности S
. Мы уже знаем, как с помощью одного циркуля построить её образ A_{n}'
при инверсии относительно окружности S
. Тогда OA_{n}'=\frac{R^{2}}{OA_{n}}
. Далее построим на луче OA
точку A'
, для которой OA'=nOA_{n}'
, т. е. построим на этом луче отрезок OA'
, в n
раз длиннее отрезка OA_{n}'
(см. задачу 2545б). Тогда
OA'\cdot OA=nOA_{n}'\cdot OA=n\cdot\frac{R^{2}}{OA_{n}}\cdot OA=n\cdot\frac{R^{2}}{nOA}\cdot OA=R^{2}.
Следовательно, A'
— образ точки A
при инверсии относительно окружности S
.
Если же точка A
лежит на окружности S
, то её образ при инверсии относительно окружности S
— сама точка A
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 28.18, с. 519