11100. Пусть h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника площади S
, опущенные на стороны, равные a
, b
и c
соответственно, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что
S=\sqrt{\frac{Rh_{a}h_{b}h_{c}}{2}}.
Решение. Из равенств
S=\frac{1}{2}ah_{a},~S=\frac{1}{2}bh_{b},~S=\frac{1}{2}ch_{c}
получаем, что
a=\frac{2S}{h_{a}},~b=\frac{2S}{h_{b}},~c=\frac{2S}{h_{c}}.
Значит (см. задачу 4259),
S=\frac{abc}{4R}=\frac{\frac{2S}{h_{a}}\cdot\frac{2S}{h_{b}}\cdot\frac{2S}{h_{c}}}{4R}=\frac{2S^{3}}{Rh_{a}h_{b}h_{c}},
откуда
S=\sqrt{\frac{Rh_{a}h_{b}h_{c}}{2}}.