11103. Параллельные прямые, проходящие через вершины A
, B
и C
треугольника ABC
, пересекают его описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что ортоцентры H_{1}
, H_{2}
и H_{3}
треугольников ABC_{1}
, BCA_{1}
и CAB_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть H_{1}
, H_{2}
и H_{3}
— ортоцентры треугольников ABC_{1}
, BCA_{1}
и CAB_{1}
соответственно. Тогда (см. задачу 4516)
\overrightarrow{OH_{1}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_{1}},~\overrightarrow{OH_{2}}=\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},~\overrightarrow{OH_{3}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC},
поэтому
\overrightarrow{H_{2}H_{1}}=\overrightarrow{OH_{1}}-\overrightarrow{OH_{2}}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{C_{1}C},
\overrightarrow{H_{2}H_{3}}=\overrightarrow{OH_{3}}-\overrightarrow{OH_{2}}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{BB_{1}},
а так как векторы \overrightarrow{A_{1}A}
, \overrightarrow{C_{1}C}
и \overrightarrow{BB_{1}}
коллинеарны, то и векторы \overrightarrow{H_{2}H_{1}}
и \overrightarrow{H_{2}H_{3}}
коллинеарны. Следовательно, точки H_{1}
, H_{2}
и H_{3}
лежат на одной прямой.