11122. В окружность вписан остроугольный треугольник. Постройте шестиугольник, вписанный в эту окружность, площадь которого в два раза больше площади данного треугольника.
Решение. Пусть продолжения высот треугольника ABC
, проведённых из вершин A
, B
и C
, пересекают описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а H
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
симметричны точке H
относительно прямых BC
, AC
и AB
соответственно (см. задачу 4785). Значит, треугольник BA_{1}C
равен треугольнику AHC
, треугольник AB_{1}C
— треугольнику AHC
, а треугольник AC_{1}B
— треугольнику AHB
. Следовательно, площадь шестиугольника AB_{1}CA_{1}BC_{1}
вдвое больше площади треугольника ABC
.