11123. Точка K
лежит на гипотенузе AB
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
, AM
— медиана треугольника. В каком отношении точка K
делит гипотенузу, если известно, что AM\perp CK
.
Ответ. AK:KB=2:1
.
Решение. Обозначим \frac{AK}{KB}=\frac{m}{n}
. Тогда
\overrightarrow{CK}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{CA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{m+n}(n\overrightarrow{CA}+m\overrightarrow{CB})
(см. задачу 4186) и
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}.
Прямые CK
и AM
перпендикулярны, поэтому скалярное произведение векторов \overrightarrow{CK}
и \overrightarrow{AM}
равно 0. Аналогично, скалярное произведение векторов \overrightarrow{CA}
и \overrightarrow{CB}
равно 0.
Пусть AC=AB=a
. Тогда
0=\overrightarrow{CK}\cdot\overrightarrow{AM}=\frac{1}{m+n}(n\overrightarrow{CA}+m\overrightarrow{CB})\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=
=\frac{1}{m+n}\left(-n\overrightarrow{CA}^{2}+\frac{1}{2}m\overrightarrow{CB}^{2}\right)=\frac{a^{2}}{m+n}\left(-n+\frac{1}{2}m\right)~\Rightarrow~-n+\frac{1}{2}m=0.
Следовательно,
\frac{AK}{KB}=\frac{m}{n}=2.