11126. На окружности с центром O
отметили точки A
и B
так, что OA\perp OB
. Точка E
— середина отрезка OA
. На диаметре AD
отметили точку F
так, что EF=BE
. Докажите, что отрезок BF
равен стороне вписанного в данную окружность правильного пятиугольника.
Решение. Известно (см. задачу 1494), что
\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4},~\cos18^{\circ}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}.
Пусть радиус данной окружности равен R
, а сторона вписанного в окружность правильного пятиугольника, равна a
. По теореме синусов
a=2R\sin36^{\circ}=4R\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=
=2R\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}(5+\sqrt{5})}{32}}=2R\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{5}}{8}}=R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}.
С другой стороны, из прямоугольных треугольников BOE
и BOF
находим, что
BE=\sqrt{OB^{2}+OE^{2}}=\sqrt{R^{2}+\frac{R^{2}}{4}}=\frac{R\sqrt{5}}{2},
BF=\sqrt{OF^{2}+OB^{2}}=\sqrt{(EF-OE)^{2}+OB^{2}}=
=\sqrt{R^{2}\left(\frac{R\sqrt{5}}{2}-\frac{R}{2}\right)^{2}+\frac{R^{2}}{4}}=R\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}+1}=
=R\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{4}}=R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}.
Следовательно, BF=a
Примечание. Из доказанного утверждения вытекает один из способов построения правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Это построение описано в работе Птолемея «Альмагест».