11128. Дан правильный 30-угольник A_{1}A_{2}\dots A_{30}
с центром O
. Найдите угол между прямыми OA_{3}
и A_{1}A_{4}
.
Ответ. 84^{\circ}
.
Решение. Вершины данного правильного 30-угольника разбивают его описанную окружность (O
— её центр) на 30 дуг, равных \frac{360^{\circ}}{30}=12^{\circ}
, а так как A_{3}
и A_{18}
— диаметрально противоположные точки окружности, то
\smile A_{18}A_{30}A_{1}=180^{\circ}-\smile A_{1}A_{2}A_{3}=180^{\circ}-2\cdot12^{\circ}=156^{\circ}.
Следовательно, угол между между прямыми OA_{3}
и A_{1}A_{4}
равен углу между пересекающимися хордами A_{3}A_{18}
и A_{1}A_{4}
, т. е.
\frac{1}{2}(\smile A_{18}A_{30}A_{1}+\smile A_{1}A_{4})=\frac{1}{2}(156^{\circ}+12^{\circ})=84^{\circ}
(см. задачу 26).