11129. Все углы пятиугольника равны. Докажите, что сумма расстояний от любой его внутренней точки до прямых, содержащих его стороны, постоянна.
Решение. Пусть M
— точка, лежащая внутри данного пятиугольника \Gamma
. Рассмотрим правильный пятиугольник \Gamma_{1}
, содержащий внутри себя пятиугольник \Gamma
и стороны которого соответственно параллельны сторонам \Gamma
. Сумма S_{1}
расстояний от точки M
до сторон правильного пятиугольника \Gamma_{1}
не зависит от положения этой точки внутри \Gamma
(см. примечание к задаче 4024). Эта сумма складывается из суммы S
расстояний от точки M
до сторон пятиугольника \Gamma
и суммы расстояний между соответственно параллельными сторонами пятиугольников \Gamma
и \Gamma_{1}
. Следовательно, сумма S
не зависит от положения точки M
внутри \Gamma
.