11139. На диаметре AB
окружности S
взята точка K
и из неё восставлен перпендикуляр, пересекающий окружность S
в точке L
. Окружности S_{A}
и S_{B}
касаются окружности S
, отрезка LK
и диаметра AB
, а именно, S_{A}
касается отрезка AK
в точке A_{1}
, S_{B}
касается отрезка BK
в точке B_{1}
. Докажите, что \angle A_{1}LB_{1}=45^{\circ}
.
Решение. Пусть перпендикуляр KL
вторично пересекает окружность S
в точке N
. Тогда A
— середина дуги LAN
окружности S
, а B
— середина дуги LBN
. Значит, AB_{1}=AL
и BA_{1}=BL
(см. задачу 2893).
Обозначим \angle BAL=\alpha
и \angle ABL=\beta
. Точка L
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ALB=90^{\circ}
. Значит, \alpha+\beta=90^{\circ}
.
Треугольники ALB_{1}
и BLA_{1}
равнобедренные, поэтому
\angle AB_{1}L=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle BA_{1}L=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Следовательно,
\angle A_{1}LB_{1}=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\alpha+\beta}{2}=45^{\circ}.
Что и требовалось доказать.