11141. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведена касательная AQ
к окружности S_{1}
(точка Q
лежит на S_{2}
), а через точку B
— касательная BS
к окружности S_{2}
(точка S
лежит на S_{1}
). Прямые BQ
и AS
пересекают окружности S_{1}
и S_{2}
в точках R
и P
соответственно. Докажите, что PQRS
— параллелограмм.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим \angle AQB=\alpha
и \angle ASB=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABS=\angle AQB=\alpha,~\angle BAQ=\angle ASB=\beta,
поэтому
\angle BAS=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=\angle ABQ.
Значит, PS\parallel QR
.
Четырёхугольники ABQP
и ABRS
вписанные, поэтому
\angle PSR=\angle ASR=180^{\circ}-\angle ABR=\angle ABQ=180^{\circ}-\angle APQ=180^{\circ}-\angle SPQ.
Значит, RS\parallel PQ
. Следовательно, PQRS
— параллелограмм.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873)
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.24, с. 33