11142. Внутри четырёхугольника ABCD
взята такая точка M
, что ABMD
— параллелограмм. Докажите, что если \angle CBM=\angle CDM
, то \angle ACD=\angle BCM
.
Решение. Достроим треугольник BCM
до параллелограмма BMCN
. Тогда AD=BM=NC
и AD\parallel BM\parallel NC
, поэтому ADCN
— тоже параллелограмм. Значит,
\angle BCN=\angle CBM=\angle CDM=\angle NAB,
т. е. из точек C
и A
, лежащих по одну сторону от прямой BN
, отрезок BN
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, B
, C
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Вписанные в эту окружность углы NAC
и NBC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Тогда
\angle ACD=\angle NAC=\angle NBC=\angle BCM.
Что и требовалось доказать.