11143. Два остроугольных треугольника ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
таковы, что точки B_{1}
и C_{1}
лежат на стороне BC
, а точка A_{1}
лежит внутри треугольника ABC
. Пусть S
и S_{1}
— соответственно площади этих треугольников. Докажите, что
\frac{S}{AB+AC}\gt\frac{S_{1}}{A_{1}B_{1}+A_{1}C_{1}}.
Решение. Пусть A'
и A_{1}'
— точки, симметричные вершинам соответственно A
и A_{1}
относительно прямой BC
. У четырёхугольников ABA'C
и A_{1}B_{1}A_{1}'C_{1}
суммы противоположных сторон равны, значит, эти четырёхугольники описанные. Их площади равны 2S
и 2S_{1}
соответственно.
Пусть p
и p'
соответственно — их полупериметры, а r
и r'
соответственно — радиусы вписанных окружностей. Тогда r=\frac{2S}{p}
и r'=\frac{2S_{1}}{p'}
(см. задачу 523). При этом четырёхугольник A_{1}B_{1}A_{1}'C_{1}
содержится в четырёхугольнике ABA'C
, поэтому r'\lt r
, или
\frac{2S}{AB+AC}=\frac{2S}{p}=r\gt r'=\frac{2S_{1}}{p'}=\frac{2S_{1}}{A_{1}B_{1}+A_{1}C_{1}}.
Следовательно,
\frac{S}{AB+AC}\gt\frac{S_{1}}{A_{1}B_{1}+A_{1}C_{1}}.