11146. Из точки P
опущены перпендикуляры PA_{1}
, PB_{1}
и PC_{1}
на стороны соответственно BC
, AC
и AB
непрямоугольного треугольника ABC
. Прямая l_{a}
проходит через середины отрезков PA
и B_{1}C_{1}
. Аналогично определяются прямые l_{b}
и l_{c}
. Докажите, что прямые l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
пересекаются в одной точке.
Решение. Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок PA
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PA
. Центр этой окружности — середина отрезка PA
. Прямая l_{a}
проходит через центр окружности и середину хорды B_{1}C_{1}
, не являющейся диаметром. Значит (см. задачу 1677), l_{a}
— серединный перпендикуляр к этой хорде. Аналогично, прямые l_{b}
и l_{c}
— серединные перпендикуляры к сторонам соответственно A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 1142).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.124, с. 116
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.103, с. 118