11151. Дана равнобокая трапеция с основаниями 4 и 12 и высотой 4. Можно ли разрезать её на три части и сложить из этих частей квадрат?
Ответ. Можно.
Решение. Пусть в трапеции ABCD
— равнобокая трапеция с основаниями BC=4
, AD=12
и высотой BH=4
. Тогда (см. задачу 1921)
AH=\frac{AD-BC}{2}=4=BC,
поэтому ABCH
— параллелограмм, составленный из двух равных прямоугольных и равнобедренных треугольников.
Проведём отрезок CH
. Треугольник DCH
также равнобедренный и прямоугольный, так как
CH=AB=CD~\mbox{и}~\angle CDH=\angle CAH=\angle CHD=45^{\circ}.
Значит, разрезав трапецию на три части по прямым BH
и CH
и сложив так, как показано на рисунке, получим ромб с прямым углом, то есть квадрат.
Примечание. Отметим, что поиску решения могут также помочь вычисления: площадь трапеции равна 32, а боковая сторона равна 32, откуда следует, что стороной квадрата должна стать боковая сторона трапеции.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, муниципальный этап, № 2, 9 класс