11157. Окружности \Omega
и \omega
касаются внешним образом в точке F
, а их общая внешняя касательная касается окружностей \Omega
и \omega
в точках A
и B
соответственно. Прямая l
проходит через точку B
, вторично пересекает окружность \omega
в точке C
, а также пересекает \Omega
в точках D
и E
(точка D
расположена между C
и E
). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F
, пересекает прямые AB
и BE
в точках P
и H
соответственно (точка F
лежит между точками P
и H
). Известно, что BC=42
, DH=HC=4
. Найдите длину отрезка HP
и радиусы обеих окружностей.
Ответ. HP=7\sqrt{46}
, r=5\sqrt{\frac{138}{7}}
, R=5\sqrt{\frac{322}{3}}
.
Решение. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
HF^{2}=HC\cdot HB=4\cdot46~\Rightarrow~HF=2\sqrt{46};
HF^{2}=HD\cdot HE~\Rightarrow~HE=\frac{HF^{2}}{HD}=46,
BD=42+8=50,~BE=BH+HE=42+4+46=92;
BA^{2}=BD\cdot BE=50\cdot92~\Rightarrow~BA=10\sqrt{46}.
Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой, PF=PA=PB
. Следовательно, PF=\frac{1}{2}AB=5\sqrt{46}
. Итак,
PH=PF+FH=5\sqrt{46}+2\sqrt{46}=7\sqrt{46}.
Пусть \angle BPH=\gamma
. Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH
получаем
BH^{2}=HP^{2}+BP^{2}-2BP\cdot PH\cos\gamma,~\mbox{т. е.}~46^{2}=7^{2}\cdot46+5^{2}\cdot46-70\cdot46\cos\gamma,
откуда
46=49+25-70\cos\gamma~\Rightarrow~\cos\gamma=\frac{2}{5}.
Пусть O
и Q
— центры, а R
и r
— радиусы окружностей \Omega
и \omega
соответственно. Поскольку окружности касаются, точка касания F
лежит на линии центров OQ
и при этом OQ\perp PH
. Углы A
и F
четырёхугольника AOFP
прямые, поэтому
\angle AOF=180^{\circ}-\angle APF=\angle BPF=\gamma.
Рассмотрим прямоугольную трапецию ABQO
. В ней
OQ=R+r,~OA=R,~BQ=r,~AB=10\sqrt{46},~\angle AOQ=\gamma.
Опуская из точки Q
высоту QN
на основание AO
, получаем прямоугольный треугольник ONQ
, в котором
QN=AB=10\sqrt{46},~ON=R-r.
По теореме Пифагора,
(R+r)^{2}+(R-r)^{2}+(10\sqrt{46})^{2}.
Кроме того,
\frac{2}{5}=\cos\gamma=\frac{R-r}{R+r}.
Из последнего уравнения получаем R=\frac{7}{3}r
, а из первого следует, что Rr=25\cdot46
. Решая эту систему уравнений, находим, что
R=5\sqrt{\frac{322}{3}},~r=5\sqrt{\frac{138}{7}}.
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 9, с. 45, вариант 1, задача 4
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2019, вариант 1, задача 4