1116. Величины углов при вершинах A
, B
, C
треугольника ABC
составляют арифметическую прогрессию с разностью \frac{\pi}{7}
. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D
. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
находятся на продолжениях отрезков DA
, DB
, DC
за точки A
, B
, C
соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D
. Докажите, что величины углов A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.
Ответ. \frac{\pi}{28}
.
Указание. Если биссектрисы углов B
и C
треугольника ABC
пересекаются в точке D
, то \angle BDC=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\angle A
.
Решение. Пусть \angle A=\alpha
— средний по величине угол треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1101)
\angle C=\alpha-\frac{\pi}{7},~\angle B=\alpha+\frac{\pi}{7},~\angle B_{1}DC_{1}=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\alpha,~\angle DB_{1}C_{1}=\angle DC_{1}B_{1}=\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right),
\angle A_{1}DC_{1}=\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{14},~\angle DA_{1}C_{1}=\angle DC_{1}A_{1}=\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{14}\right),
\angle A_{1}DB_{1}=\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{14},~\angle DA_{1}B_{1}=\angle DB_{1}A_{1}=\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{14}\right),
\angle A_{1}=\angle DA_{1}C_{1}+\angle DA_{1}B_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2},
\angle B_{1}=\angle DB_{1}A_{1}+\angle DB_{1}C_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{28},
\angle C_{1}=\angle DC_{1}B_{1}+\angle DC_{1}A_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{28}.
Поэтому углы C_{1},A_{1},B_{1}
составляют арифметическую прогрессию с разностью \frac{\pi}{28}
.