11163. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника. Докажите, что
\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\geqslant1.
Решение. Применив формулы
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}},~\tg\frac{\beta}{2}=\frac{y}{\sqrt{xy+xz+yz}},~\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{z}{\sqrt{xy+xz+yz}}
(см. задачу 11161), получим, что
\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\geqslant1~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{x^{2}}{xy+xz+yz}+\frac{y^{2}}{xy+xz+yz}+\frac{z^{2}}{xy+xz+yz}\geqslant1\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+xz+yz}\geqslant1\Leftrightarrow~x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant xy+xz+yz\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}\geqslant2xy+2xz+2yz\Leftrightarrow~(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}\geqslant0.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.